Задача 3. В ящике 10 красных и 6 синих носков. Студент нау- дачу вынимает из ящика 2 носка. Какова вероятность того, что носки окажутся одного цвета, и студент сможет поехать на занятия?

Решение:

Всего в ящике \( 10 + 6 = 16 \) носков.

Студент наудачу вынимает 2 носка. Общее число способов выбрать 2 носка из 16 равно:

$$ \text{Total combinations} = C(16, 2) = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \times 15}{2} = 8 \times 15 = 120 $$

Вероятность того, что носки окажутся одного цвета, означает, что оба носка будут либо красными, либо синими.

1. Оба носка красные:

$$ \text{Combinations of 2 red socks} = C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2} = 5 \times 9 = 45 $$

2. Оба носка синие:

$$ \text{Combinations of 2 blue socks} = C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2} = 3 \times 5 = 15 $$

Число благоприятных исходов (носки одного цвета) равно сумме этих двух случаев:

$$ \text{Favorable outcomes} = 45 + 15 = 60 $$

Вероятность того, что носки окажутся одного цвета, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$$ P(\text{same color}) = \frac{\text{Favorable outcomes}}{\text{Total combinations}} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} $$

Таким образом, вероятность того, что оба носка будут одного цвета, составляет \( \frac{1}{2} \) или 0.5.

Поскольку задача подразумевает, что студент сможет поехать на занятия, если носки одного цвета, то искомая вероятность равна вероятности вынуть носки одного цвета.

Ответ: \( \frac{1}{2} \).