Задача 31. Упростите выражение и найдите его значение при данных значениях переменных: а) (a − 2)² + (a − 1)² + (a + 1)² + (a + 2)² при a = 20; б) (3b − 5)(3b + 5) + (b − 5)² при b = −0,9; в) (v + 15)² − (v − 15)² при v = 1 1/2; г) (y − 8)² + (3y + 4)² при y = 0,5; д) (3x − 7y)(3x + 7y) − (7x − 3y)(7x + 3y) при x = 2,5, y = −2; е) (a + b)² − (a − b)² при a = −1/3, b = 9; ж) (x − 2)(x + 2)(x² + 4) + 16 при x = 1/2; з) (a² − 2ab + b²)(a² + 2ab + b²) при a = 1/3, b = 3.

а) Используем формулы квадрата суммы и разности:

\((a-2)^2+(a+2)^2=2a^2+8\), \((a-1)^2+(a+1)^2=2a^2+2\).

Тогда выражение равно \(4a^2+10\). При \(a=20\): \(4\cdot20^2+10=1610\).

б) \((3b-5)(3b+5)+(b-5)^2=9b^2-25+b^2-10b+25=10b^2-10b\).

При \(b=-0,9\): \(10\cdot0,81+9=17,1\).

в) По формуле разности квадратов: \((v+15)^2-(v-15)^2=60v\).

При \(v=1,5\): \(60\cdot1,5=90\).

г) \((y-8)^2+(3y+4)^2=y^2-16y+64+9y^2+24y+16=10y^2+8y+80\).

При \(y=0,5\): \(10\cdot0,25+8\cdot0,5+80=86,5\).

д) \((3x-7y)(3x+7y)-(7x-3y)(7x+3y)=9x^2-49y^2-49x^2+9y^2=-40x^2-40y^2\).

При \(x=2,5\), \(y=-2\): \(-40(2,5^2+(-2)^2)=-40(6,25+4)=-410\).

е) \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\).

При \(a=-\frac13\), \(b=9\): \(4\cdot(-\frac13)\cdot9=-12\).

ж) \((x-2)(x+2)(x^2+4)+16=(x^2-4)(x^2+4)+16=x^4-16+16=x^4\).

При \(x=\frac12\): \(x^4=\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}\).

з) \((a^2-2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)=(a-b)^2(a+b)^2=(a^2-b^2)^2\).

При \(a=\frac13\), \(b=3\): \(\left(\frac19-9\right)^2=\left(-\frac{80}{9}\right)^2=\frac{6400}{81}\).

Ответ: а) 1610; б) 17,1; в) 90; г) 86,5; д) −410; е) −12; ж) \(\frac1{16}\); з) \(\frac{6400}{81}\).