Задача № 333. Решение (см. рис. 5.83): ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB. Пусть ∠ABC = β, ∠ACB = γ, тогда ∠OBC = ∠1, а ∠1 = 1/2 (180° - β), ∠OCB = ∠2 = 1/2 (180° - γ). Тогда ∠BOC = 180° - 1/2 (180° - β) - 1/2 (180° - γ) = 180° -

Решение:

Дано: Треугольник ABC, O — точка пересечения биссектрис углов B и C.

Из условия задачи имеем:

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle OCB \)

По условию, \( \angle ABC = \beta \) и \( \angle ACB = \gamma \).

Так как BO и CO — биссектрисы углов B и C соответственно, то:

\( \angle OBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{\beta}{2} \)

\( \angle OCB = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{\gamma}{2} \)

Подставляем эти значения в формулу для \( \angle BOC \):

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \frac{\beta}{2} - \frac{\gamma}{2} \)

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (\beta + \gamma) \)

Примечание: В предоставленном решении есть несоответствие. Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) обозначены как \( \angle OBC \) и \( \angle OCB \) соответственно. Однако, в условии написано \( \angle 1 = 1/2 (180^{\circ} - \beta) \), что не соответствует тому, что \( \angle OBC \) является половиной \( \angle ABC \). Корректное решение приведено выше.

Ответ: \( \angle BOC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (\beta + \gamma) \).