Задача 3 Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит выдан под 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение:

В данной задаче нам нужно найти первоначальную сумму кредита и дисконт, зная сумму, которую нужно будет вернуть через 90 дней, и годовую процентную ставку.

1. Определим срок кредита в годах:

Срок кредита составляет 90 дней. Так как в году 365 дней, то срок в годах будет:

\[ T = \frac{90}{365} \text{ года} \approx 0.2466 \text{ года} \]

2. Рассчитаем сумму первоначального кредита (S):

Формула для расчета будущей стоимости (A) при простых процентах: \( A = S \cdot (1 + r \cdot T) \), где:

• \( A \) — сумма к уплате через время \( T \) (1 000 000 руб.)
• \( S \) — первоначальная сумма кредита (искомое)
• \( r \) — годовая процентная ставка (20% или 0.20)
• \( T \) — срок кредита в годах (приблизительно 0.2466)

Выразим \( S \) из формулы:

\[ S = \frac{A}{1 + r \cdot T} \]

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{1 000 000}{1 + 0.20 \cdot \frac{90}{365}} \]

Сначала рассчитаем знаменатель:

\[ 1 + 0.20 \cdot \frac{90}{365} = 1 + \frac{18}{365} = \frac{365 + 18}{365} = \frac{383}{365} \]

Теперь найдем \( S \):

\[ S = \frac{1 000 000}{\frac{383}{365}} = 1 000 000 \cdot \frac{365}{383} \approx 952 976.50 \text{ руб.} \]

3. Рассчитаем дисконт (проценты):

Дисконт — это разница между суммой к уплате и первоначальной суммой кредита:

\[ \text{Дисконт} = A - S \]

Подставим значения:

\[ \text{Дисконт} = 1 000 000 - 952 976.50 \approx 47 023.50 \text{ руб.} \]

Примечание: Расчеты выполнены с использованием точного значения \( T = \frac{90}{365} \) для большей точности.

Ответ: первоначальная сумма кредита составляет приблизительно 952 976.50 руб., а дисконт (сумма процентов) — приблизительно 47 023.50 руб.