Задача 3 Найдите точку максимума функции y = sqrt(16 - 4x - x^2).

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = \sqrt{16 - 4x - x^2} \), нам нужно найти максимум подкоренного выражения, так как функция квадратного корня возрастает на своей области определения.

Рассмотрим подкоренное выражение: \( f(x) = 16 - 4x - x^2 \).

Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) равен -1). Максимум этой параболы достигается в вершине.

Найдем абсциссу вершины по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \) и \( b = -4 \).

\[ x_0 = -\frac{-4}{2(-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2 \]

Теперь найдем значение функции \( y \) в этой точке:

\[ y = \sqrt{16 - 4(-2) - (-2)^2} = \sqrt{16 + 8 - 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

Точка максимума имеет координаты \( (-2, 2\sqrt{5}) \). Нас просят найти точку максимума, то есть значение \( x \), при котором функция достигает максимума.

Ответ: x = -2.