Задача 4.6. На озере плавает загадочный остров. Учёные исследовали каждую точку острова и для каждой такой точки измерили ближайшее расстояние до берега и самое далёкое расстояние до берега. Затем они среди всех ближайших расстояний выбрали наибольшее, а среди всех самых далёких расстояний выбрали наименьшее. Оказалось, что эти два числа равны. Какую форму имеет остров?

Решение:

Пусть остров — это некоторая область D на плоскости. Берег озера — это граница этой области, которую мы обозначим как ∂D.

Для каждой точки P внутри острова (P ∈ D), учёные измерили:

1. Ближайшее расстояние до берега: d_min(P) = min_{Q ∈ ∂D} dist(P, Q)
2. Самое далёкое расстояние до берега: d_max(P) = max_{Q ∈ ∂D} dist(P, Q)

Затем были выбраны:

• Наибольшее из всех ближайших расстояний: R = max_{P ∈ D} d_min(P)
• Наименьшее из всех самых далёких расстояний: r = min_{P ∈ D} d_max(P)

По условию задачи, оказалось, что R = r.

Это свойство характеризует круг. Если остров имеет форму круга, то центр этого круга будет равноудален от всех точек на окружности (береге). В этом случае:

• Для центра круга ближайшее расстояние до берега будет равно радиусу R.
• Для всех остальных точек внутри круга, ближайшее расстояние до берега будет меньше радиуса. Следовательно, max_{P ∈ D} d_min(P) = R (где P — центр круга).
• Для центра круга, самое далёкое расстояние до берега также будет равно радиусу R.
• Для точек, находящихся на противоположном конце от центра, расстояние до берега будет больше радиуса. Следовательно, min_{P ∈ D} d_max(P) = R (где P — центр круга).

Таким образом, если R = r, то остров имеет форму круга.

Ответ: Остров имеет форму круга.