Задача № 4. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Луч DM пересекает прямую AB в точке N. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AN = 10 см.

Обозначим длины сторон параллелограмма: AB = CD = b, AD = BC = a.

1. Пусть единичные векторы направлены вдоль сторон AB и AD. Биссектриса угла A направлена как сумма этих единичных векторов. Поскольку M лежит на BC, из равенства составляющих следует, что BM/BC = b/a.

2. Биссектриса угла D направлена как разность единичных векторов вдоль DC и DA. Продолжив луч DM до прямой AB в точке N, получаем AN = AD, то есть a = 10 см.

3. Так как M лежит и на биссектрисе угла A, и на стороне BC, а также на луче DM, равенство составляющих для этих двух биссектрис даёт a = 2b. Значит, b = 5 см.

4. Периметр: P = 2(a + b) = 2(10 + 5) = 30 см.

Ответ: 30 см.