Задача 4. Дано: а) ∠1 = 70°, ∠3 = 110°, ∠2 + ∠3 = 180°; б) ∠1 = ∠2, ∠2 ≠ ∠4. Является ли ABCD параллелограммом?

а)

1. Из ∠2 + ∠3 = 180° и ∠3 = 110° получаем ∠2 = 70°.

2. Углы 1 и 2 — накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей AB. Так как ∠1 = ∠2 = 70°, то AD ∥ BC.

3. Углы 1 и 3 равны 70° и 110°, поэтому их сумма равна 180°. Это внутренние односторонние углы при прямых AB и CD и секущей AD, следовательно, AB ∥ CD.

Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.

б)

1. Из ∠1 = ∠2 следует, что накрест лежащие углы при прямых AD и BC равны. Значит, AD ∥ BC.

2. Если бы ABCD был параллелограммом, то AB ∥ CD. Тогда при секущей AD угол 1 был бы равен углу 4 как накрест лежащие углы. Но по условию ∠1 = ∠2 и ∠2 ≠ ∠4, то есть ∠1 ≠ ∠4. Получено противоречие.

Ответ: а) да, ABCD — параллелограмм; б) нет.