Задача 4. Диагональ прямоугольника. Известно, что меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 5, а диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите сумму диагоналей прямоугольника AC + BD.

Обозначим меньшую сторону прямоугольника через \(a=5\), а большую — через \(b\). Диагонали имеют направления, соответствующие векторам \((b,a)\) и \((b,-a)\). Поэтому для угла \(60^\circ\) между ними:

\(\cos 60^\circ=\dfrac{b^2-a^2}{b^2+a^2}=\dfrac12.\)

Отсюда \(2b^2-2a^2=b^2+a^2\), значит \(b^2=3a^2\). Тогда квадрат диагонали равен \(a^2+b^2=4a^2\), поэтому \(AC=BD=2a=10\).

Ответ: \(AC+BD=20\).