Задача 4. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠ АОВ = 120° и МО = 4.

1. В треугольнике АОВ, ОА = ОВ (радиусы), значит, он равнобедренный. Угол АОВ = 120°, следовательно, углы ОАВ = ОВА = (180° - 120°)/2 = 30°.

2. В прямоугольном треугольнике МОА (так как МА - касательная), угол МОА = 120°/2 = 60°. Тогда ОА = МО * sin(60°) = 4 * (√3/2) = 2√3.

3. В треугольнике АОВ, по теореме косинусов: АВ² = ОА² + ОВ² - 2 * ОА * ОВ * cos(120°) = (2√3)² + (2√3)² - 2 * (2√3) * (2√3) * (-1/2) = 12 + 12 + 12 = 36. Следовательно, АВ = √36 = 6.