Задача 4. Набор на кружки. Учащиеся школы должны выбрать себе дополнительные занятия на год. Каждый из них выбрал как минимум один предмет из предложенных: биология, музыка и шахматы. Известно, что 150 школьников выбрали биологию, 130 учеников — музыку и 100 — шахматы, но каждый учащийся мог выбрать и несколько предметов. Ответьте на вопросы: 1. Какое минимальное количество учащихся могло быть в школе? 2. Какое максимальное количество учащихся могло быть в школе? 3. Считайте, что одновременно биологию и музыку выбрали 85 учащихся. Сколько школьников выбрали ровно один из этих двух предметов? 4. Считайте, что ни один школьник не выбрал одновременно биологию и шахматы, одновременно биологию и музыку выбрали 60 человек, а всего в школе 250 учащихся. Сколько школьников выбрали и шахматы, и музыку? 5. Считайте, что в ситуации из пункта 4 на кружки разрешили записываться учащимся других школ. Какое минимальное дополнительное количество школьников должно записаться на предложенные предметы, чтобы количество людей, посещающих только музыку, стало равняться количеству людей, не посещающих её?

1. Численность школы не может быть меньше численности самой большой группы: 150 человек выбрали биологию. Минимум достигается, если все выбравшие музыку и шахматы входят в эту группу. Ответ: 150.

2. Для максимума группы не должны пересекаться: 150 + 130 + 100 = 380. Ответ: 380.

3. Выбрали ровно один из двух предметов: (150 − 85) + (130 − 85) = 65 + 45 = 110.

4. По формуле включений и исключений: 250 = 150 + 130 + 100 − 60 − 0 − x, где x — число выбравших и шахматы, и музыку. Поэтому x = 70.

5. В пункте 4 все 250 школьников выбрали хотя бы один предмет. Только музыку выбрали 130 − 60 − 70 = 0 человек; музыку не посещают 250 − 130 = 120 человек. Чтобы число посещающих только музыку сравнялось с числом не посещающих её, нужно добавить 120 учащихся, записавшихся только на музыку.

Ответ:
150
380
110
70
120