Задача 4. Найдите вероятность того, что сумма натуральных решений уравнения xy = 2¹¹·2¹⁰·5⁹ является чётной. Представьте ответ в виде несократимой дроби m/n; в ответ запишите сумму m+n.

Обозначим произведение в правой части через \(N\). Тогда \(N=2^{11}\cdot2^{10}\cdot5^9=2^{21}\cdot5^9\). Каждому делителю \(x\) числа \(N\) соответствует ровно одно натуральное \(y=N/x\), поэтому число упорядоченных решений равно числу делителей.

1. Всего решений: \((21+1)(9+1)=220\).
2. Сумма \(x+y\) чётна, когда \(x\) и \(y\) одной чётности. Их произведение чётно, поэтому они не могут быть оба нечётными; значит, для чётной суммы оба числа должны быть чётными.
3. Положим \(x=2a\), \(y=2b\). Тогда \(ab=N/4=2^{19}\cdot5^9\). Число таких упорядоченных пар равно числу делителей \(N/4\): \((19+1)(9+1)=200\).
4. Искомая вероятность равна \(\frac{200}{220}=\frac{10}{11}\). Следовательно, \(m+n=10+11=21\).

Ответ: 21.