Задача № 4. Найти угол A. На рисунке треугольник ABC: AB = 2√2, AC = 2, ∠C = 135°.

Обозначим \(AB=c=2\sqrt{2}\), \(AC=b=2\), \(\angle C=135^\circ\). По теореме синусов сторона \(AB\), лежащая напротив угла C, должна быть наибольшей, поскольку C — тупой угол.

Однако сторона напротив тупого угла обязана быть больше любой другой стороны, а здесь \(AB=2\sqrt{2}\approx2.83\) и \(AC=2\), что это условие выполняет. Применим теорему синусов: \(\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\), откуда \(\sin B=\frac{2\sin135^\circ}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\). Значит, \(B=30^\circ\) (вариант 150° невозможен, поскольку сумма углов треугольника превысила бы 180°).

Тогда \(A=180^\circ-135^\circ-30^\circ=15^\circ\).

Ответ: \(\angle A=15^\circ\).