Задача 4. Одним из корней уравнения с целыми коэффициентами $x^2+ax+b=0$ является $x=1+\sqrt{3}$. Найдите $a+b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задача 4. Одним из корней уравнения с целыми коэффициентами $x^2+ax+b=0$ является $x=1+\sqrt{3}$. Найдите $a+b$.$ Фото задания

Accepted Answer

Так как коэффициенты уравнения целые, вторым корнем является сопряжённое число: $x_2=1-\sqrt{3}$.

По теореме Виета:

$x_1+x_2=-a$, поэтому $(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})=2=-a$, откуда $a=-2$.

$x_1x_2=b$, поэтому $(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1-3=-2$, откуда $b=-2$.

Тогда $a+b=-2+(-2)=-4$.

Ответ: -4

Задача 4. Одним из корней уравнения с целыми коэффициентами \(x^2+ax+b=0\) является \(x=1+\sqrt{3}\). Найдите \(a+b\).