Задача 4. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через середины рёбер DD₁, CC₁ и B₁C₁. Найдите периметр сечения, если CD = 56, AD = 24, BB₁ = 32.

Обозначим середины рёбер DD₁ и CC₁ буквами M и N, а середину B₁C₁ — буквой P. На верхней грани A₁B₁C₁D₁ плоскость пересекает ребро A₁D₁ в его середине K: на этой грани сечение проходит через P и параллельно ребру CD.

Сечение — прямоугольник MNP K. Одна его сторона равна CD = 56. Для второй стороны рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной AD и половиной BB₁:

AD : 2 = 24 : 2 = 12,   BB₁ : 2 = 32 : 2 = 16.

По теореме Пифагора MN = √(12² + 16²) = √400 = 20.

Тогда периметр сечения равен 2 · (56 + 20) = 152.

Ответ: 152.