Задача № 4, пункт 1. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, угол ADB равен углу BDC и равен 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Так как AB — боковая сторона, основания трапеции — AD и BC, поэтому AD ∥ BC.

В прямоугольном треугольнике ADB угол D равен 30°, а угол B — 90°. Обозначим BD за x. Тогда AB = x/√3, AD = 2x/√3.

В треугольнике BDC углы при D и B равны 30° и 150° соответственно, поскольку BC ∥ AD. Отсюда CD = x, а BC = (√3 − 1)x/2.

По условию периметр равен 60 см:

2x/√3 + x/√3 + x + (√3 − 1)x/2 = 60.

Следовательно, x(3√3 + 1)/2 = 60, откуда x = 120/(3√3 + 1).

Тогда AD = 2x/√3 = 240/(9 + √3) ≈ 22,35 см.

Ответ: AD = 240/(9 + √3) см, приблизительно 22,35 см.