Задача 4. Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошёл 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Плот движется со скоростью течения — 4 км/ч. Чтобы пройти 40 км, ему потребовалось \(40:4=10\) ч. Яхта вышла на 1 час позже, значит, её путь туда и обратно занял \(10-1=9\) ч.

Пусть скорость яхты в неподвижной воде равна \(v\) км/ч. По течению её скорость равна \(v+4\), против течения — \(v-4\). Составим уравнение по времени пути:

\(\dfrac{105}{v+4}+\dfrac{105}{v-4}=9\), где \(v>4\).

Сложим дроби:

\(\dfrac{210v}{v^2-16}=9\).

После преобразования получаем \(3v^2-70v-48=0\). Дискриминант равен \(5476=74^2\), поэтому корни: \(v=24\) и \(v=-\dfrac{2}{3}\). Условию \(v>4\) удовлетворяет только положительный корень 24.

Ответ: 24 км/ч.