Задача №4. У Алисы есть набор палочек. Из этих палочек ей нужно сложить замкнутую фигуру, в которой каждая палочка образует прямые углы с соседними палочками. Необходимо использовать все палочки. Сможет ли она составить такую фигуру, если: а) палочки имеют длины 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 и 4; б) палочки имеют длины 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 и 5?

а) Да. Разместим палочки по порядку: вправо 4, вверх 4, влево 3, вниз 2, вправо 1, вниз 1, влево 2, вниз 1. Горизонтальные палочки имеют длины 4, 3, 1 и 2, вертикальные — 4, 2, 1 и 1. В каждом направлении длины уравновешиваются: по горизонтали 4 + 1 = 3 + 2, по вертикали 4 = 2 + 1 + 1. Поэтому фигура замкнётся, а направления соседних палочек будут перпендикулярны.

б) Нет. Сумма длин всех палочек равна 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 29. В замкнутой фигуре с прямыми углами длина горизонтальных палочек должна равняться длине вертикальных палочек. Значит, общая сумма длин должна быть удвоенной и потому чётной. Число 29 нечётное, поэтому сложить такую фигуру нельзя.