Задача 4. В деревне Незабудка фермер Иванов — единственный производитель творога. Затраты Иванова описываются функцией TC = 2Q + 20 (Q — количество творога, кг). В деревне Незабудка спрос на творог задан функцией Qd = 40 − 2P, где P — цена килограмма творога в руб., Q — количество творога в кг. Вопрос 1 (10 баллов): Найдите, сколько килограммов творога производит Иванов, по какой цене продаёт, какую при этом получает прибыль, если он стремится максимизировать прибыль. Узнав, что Иванов производит творог, Петров решил открыть в деревне блинную. Для производства блинчиков ему необходима сыворотка, которая остаётся после производства творога (при производстве 1 кг творога остаётся 100 мл сыворотки). Спрос на сыворотку, которую закупает Петров, может быть описан следующей функцией: Qd = 3 − 2P, где P — цена сыворотки в руб., Q — количество сыворотки в л. Вопрос 2 (10 баллов): Сколько сыворотки закупит Петров у Иванова?

Вопрос 1. Иванов — единственный продавец, поэтому выбирает выпуск, максимизирующий прибыль.

Из функции спроса Q = 40 − 2P выразим цену: P = 20 − Q/2.

Выручка: TR = PQ = (20 − Q/2)Q = 20Q − Q²/2.

Прибыль: π(Q) = TR − TC = 20Q − Q²/2 − (2Q + 20) = 18Q − Q²/2 − 20.

Условие максимума: π′(Q) = 18 − Q = 0, откуда Q = 18 кг. Поскольку π″(Q) = −1 < 0, это максимум.

Цена: P = 20 − 18/2 = 11 руб./кг.

Прибыль: π = 11 × 18 − (2 × 18 + 20) = 198 − 56 = 142 руб.

Вопрос 2. При выпуске 18 кг творога образуется 18 × 0,1 = 1,8 л сыворотки. По спросу Петров готов приобрести при цене P количество Qd = 3 − 2P. При доступном объёме 1,8 л равновесная цена задаётся условием 1,8 = 3 − 2P, откуда P = 0,6 руб./л. При этой цене спрос равен всему доступному объёму.

Ответ: Иванов производит 18 кг творога, продаёт по 11 руб./кг и получает прибыль 142 руб.; Петров закупит 1,8 л сыворотки.