Задача 4. В магазин вошли восемь покупателей. Найти вероятность того, что трое из них совершат покупки, если для каждого вошедшего вероятность совершить покупку равна 0,3.

Решение:

Эта задача решается с использованием формулы Бернулли, так как есть фиксированное число испытаний (8 покупателей), два исхода для каждого испытания (совершил покупку или нет) и одинаковая вероятность успеха (0,3) для каждого покупателя.

Формула Бернулли:

\[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где:

• \( n \) — общее число испытаний (покупателей), \( n = 8 \).
• \( k \) — число «успехов» (покупателей, совершивших покупку), \( k = 3 \).
• \( p \) — вероятность «успеха» (совершить покупку), \( p = 0,3 \).
• \( q \) — вероятность «неудачи» (не совершить покупку), \( q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7 \).
• \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), вычисляется как \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Рассчитаем число сочетаний:

\[ C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56 \]

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

\[ P_8(3) = C_8^3 \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^{8-3} \]\[ P_8(3) = 56 \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^5 \]

Рассчитаем степени:

• \( (0,3)^3 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,027 \)
• \( (0,7)^5 = 0,7 \times 0,7 \times 0,7 \times 0,7 \times 0,7 = 0,16807 \)

Теперь перемножим все значения:

\[ P_8(3) = 56 \cdot 0,027 \cdot 0,16807 \]\[ P_8(3) = 1,512 \cdot 0,16807 \]\[ P_8(3) \approx 0,25412184 \]

Итоговый ответ:

Ответ: 0,2542.