Задача 4. В окружность вписан треугольник NMK так, что NM — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если дуга NK = 86°.

У нас есть треугольник NMK, вписанный в окружность, где NM является диаметром.

1. Угол ∠NKM:

Так как NM — диаметр, то угол ∠NKM, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно:

∠NKM = 90°

2. Угол ∠MNK:

Угол ∠MNK является вписанным углом, который опирается на дугу NK. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

∠MNK = дуга NK / 2

∠MNK = 86° / 2

∠MNK = 43°

3. Угол ∠NMK:

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Мы уже знаем два угла в треугольнике NMK: ∠NKM = 90° и ∠MNK = 43°.

∠NMK + ∠NKM + ∠MNK = 180°

∠NMK + 90° + 43° = 180°

∠NMK + 133° = 180°

∠NMK = 180° - 133°

∠NMK = 47°

Ответ: Углы треугольника NMK равны: ∠NKM = 90°, ∠MNK = 43°, ∠NMK = 47°.