Задача 4. В вертикальной трубке расположены два одинаковых заряженных шарика массой которых равны m₀, а электрические заряды равны по модулю и противоположны по знаку: +q и −q. В начальный момент времени один шарик удерживают на дне трубки, а второй — на высоте H. Шарики отпускают и они оба приходят в движение. Через некоторый промежуток времени τ нижний шарик опять оказался на дне трубки. Определите высоту h, на которой в этот момент времени находился второй шарик. Сопротивлением воздуха и трением о стенки пренебречь, ускорение свободного падения равно g.

Рассмотрим центр масс двух шариков. Электрические силы являются внутренними силами системы и не влияют на движение её центра масс.

На центр масс действует только сила тяжести, поэтому он движется с ускорением \(g\) вниз.

В начальный момент координаты шариков равны \(H\) и \(0\), поэтому координата центра масс:

\[y_{\text{ц.м.},0}=\frac{H}{2}.\]

Через время \(\tau\) нижний шарик снова находится на дне, а второй — на высоте \(h\). Поэтому:

\[y_{\text{ц.м.}}=\frac{h}{2}.\]

Так как начальная скорость центра масс равна нулю, его перемещение за время \(\tau\) равно:

\[\frac{h}{2}=\frac{H}{2}-\frac{g\tau^2}{2}.\]

Умножая равенство на 2, получаем:

\[h=H-g\tau^2.\]

Ответ: \(h=H-g\tau^2\).