Задача 5.3. Спутник движется по круговой орбите на высоте h = 400 км. Найдите его скорость и период. (Rз = 6400 км, g₀ = 10 м/с²)

Радиус орбиты: \(r = R_з + h = 6400 + 400 = 6800\) км \(= 6.8 \cdot 10^6\) м. Радиус Земли: \(R_з = 6.4 \cdot 10^6\) м.

Для круговой орбиты сила тяжести сообщает спутнику центростремительное ускорение. У поверхности Земли ускорение свободного падения связано с гравитационным параметром формулой \(GM = g_0R_з^2\). Поэтому скорость спутника:

\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{g_0R_з^2}{r}} = \sqrt{\frac{10 \cdot (6.4 \cdot 10^6)^2}{6.8 \cdot 10^6}} \approx 7.76 \cdot 10^3\text{ м/с}.\]

Период обращения равен длине орбиты, делённой на скорость:

\[T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 6.8 \cdot 10^6}{7.76 \cdot 10^3} \approx 5.50 \cdot 10^3\text{ с} \approx 91.7\text{ мин}.\]

Ответ: скорость примерно 7.76 км/с, период примерно 5.50 · 10³ с (91.7 мин).