Задача 5.7. Разменный автомат меняет одну монету на пять других.

Решение:

Пусть \( N \) — количество монет, которое есть у Пети. Изначально у Пети одна монета, то есть \( N=1 \).

Когда Петя меняет одну монету, он получает взамен пять других. То есть, количество монет меняется следующим образом: \( N_{new} = N_{old} - 1 + 5 = N_{old} + 4 \).

Таким образом, после каждой такой операции количество монет увеличивается на 4.

Если у Пети была 1 монета, он может поменять ее на 5. Теперь у него 5 монет. Затем он может взять одну из этих 5 монет и поменять ее на 5. Теперь у него \( 5 - 1 + 5 = 9 \) монет.

После второй операции у него 9 монет. Если он снова поменяет одну монету, то получит \( 9 - 1 + 5 = 13 \) монет.

После \( k \) операций количество монет будет равно \( 1 + 4k \).

Рассмотрим, какое количество монет может быть у Пети. Может ли у него быть 7 монет?

Начальное количество: 1.

После 1 операции: 5.

После 2 операций: 9.

После 3 операций: 13.

Заметим, что 1 ≡ 1 · 4 + 1 (mod 4).

5 ≡ 1 · 4 + 1 (mod 4).

9 ≡ 2 · 4 + 1 (mod 4).

13 ≡ 3 · 4 + 1 (mod 4).

После \( k \) операций, количество монет равно \( 4k + 1 \). Любое такое число при делении на 4 дает остаток 1.

Посмотрим на число 7. При делении 7 на 4, получаем остаток 3.

Поскольку любое количество монет, которое может быть у Пети, при делении на 4 дает остаток 1, то количество монет, равное 7, получить невозможно.

Ответ: Не может.