Задача 5. (8 баллов) В кучке лежит 21 палочка. Два игрока по очереди берут палочки из кучки. За один ход разрешается взять одну, две или три палочки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Какое минимальное количество палочек может быть у победителя по окончании игры?

Пусть победитель за игру взял \(k\) палочек. Так как за каждый свой ход он берёт хотя бы одну палочку, он делает не больше \(k\) ходов. У соперника не может быть больше ходов, чем у победителя, а за ход соперник берёт не больше 3 палочек. Значит, соперник возьмёт не больше \(3k\) палочек.

Всего взяли 21 палочку, поэтому \(21\leq k+3k\), откуда \(k\geq 5.25\). Следовательно, победитель должен взять как минимум 6 палочек.

Шесть палочек возможны: первый игрок берёт 1 палочку, затем второй берёт 3; так повторяется пять раз. После этого первый игрок берёт последнюю палочку. Первый игрок взял 6 палочек, второй — 15, и второй проигрывает, потому что ходов больше нет.

Ответ: 6 палочек.