Задача 5. Докажите, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Дано: OK — биссектриса ∠AOC, OM — биссектриса ∠BOC. Доказать: ∠KOM = 90°.

Так как углы ∠AOC и ∠BOC смежные, их сумма равна 180°:

∠AOC + ∠BOC = 180°.

OK и OM — биссектрисы этих углов, поэтому ∠KOC = ½∠AOC, а ∠COM = ½∠BOC.

Луч OC лежит внутри угла KOM, следовательно, ∠KOM = ∠KOC + ∠COM.

Подставим выражения для половин углов:

∠KOM = ½∠AOC + ½∠BOC = ½(∠AOC + ∠BOC) = ½ · 180° = 90°.

Ответ: биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.