Задача 5. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции

Решение:

В условии задачи сказано, что в трапецию ABCD можно вписать окружность. Это означает, что сумма длин противоположных сторон равна: \( AB + CD = AD + BC \).

Также известно, что EF — средняя линия трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( EF = \frac{AD + BC}{2} \).

Из первого условия следует, что \( AB + CD = AD + BC \). Подставим это во второе уравнение: \( EF = \frac{AB + CD}{2} \), откуда \( AB + CD = 2 · EF \).

Теперь рассмотрим данное в условии равенство: \( AB + CD + EF = 18 \).

Подставим \( AB + CD = 2 · EF \) в это уравнение:

\[ 2 · EF + EF = 18 \]

\[ 3 · EF = 18 \]

\[ EF = \frac{18}{3} \]

\[ EF = 6 \]

Теперь мы знаем длину средней линии. Найдем сумму боковых сторон:

\[ AB + CD = 2 · EF = 2 · 6 = 12 \]

Периметр трапеции равен сумме всех сторон: \( P = AB + BC + CD + AD \).

Так как \( AB + CD = AD + BC \) и \( AB + CD = 12 \), то \( AD + BC = 12 \).

Периметр трапеции будет:

\[ P = (AB + CD) + (AD + BC) = 12 + 12 = 24 \]

Или, используя данное условие \( AB + CD + EF = 18 \) и то, что \( AB + CD = 2 · EF \) и \( AD + BC = 2 · EF \), периметр \( P = AB + CD + AD + BC = 2 · EF + 2 · EF = 4 · EF \).

Так как \( AB + CD + EF = 18 \) и \( AB + CD = 2 · EF \), то \( 2 · EF + EF = 18 \) => \( 3 · EF = 18 \) => \( EF = 6 \).

Тогда периметр \( P = 4 · EF = 4 · 6 = 24 \).

Ответ: 24