Задача 5. По кругу выписаны 30 натуральных чисел (не обязательно различных). Известно, что в любых трёх идущих подряд числах найдётся число, которое больше суммы двух других. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех 30 чисел.

Рассмотрим любые три соседних числа и расположим их по возрастанию: \(a\le b\le c\). По условию одно из них больше суммы двух остальных. Это обязательно наибольшее число, поэтому \(c>a+b\). Так как числа натуральные, \(a\ge1\) и \(b\ge1\), значит, \(c\ge3\). Следовательно, сумма любых трёх соседних чисел не меньше \(1+1+3=5\).

Сложим суммы всех 30 троек соседних чисел по кругу. Каждое из 30 чисел войдёт ровно в три такие тройки, поэтому сумма получившихся выражений равна утроенной сумме всех чисел. Отсюда \(3S\ge30\cdot5=150\), то есть \(S\ge50\).

Граница достигается: если повторить по кругу набор \(1,1,3\) десять раз, то в каждой тройке соседних чисел будет один набор из циклических перестановок \((1,1,3)\), и число \(3\) больше суммы двух остальных. Сумма всех чисел равна \(10(1+1+3)=50\).

Ответ: 50