Задача 5. Сколько раз за сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой угол (90°)?

Минутная стрелка движется со скоростью 6° в минуту, а часовая — 0,5° в минуту. Поэтому минутная стрелка опережает часовую на 5,5° в минуту.

За 12 часов относительное положение стрелок изменится на \(5.5 \cdot 720 = 3960° = 11 \cdot 360°\). Значит, за 12 часов стрелки проходят 11 полных циклов взаимного положения.

В каждом цикле они образуют прямой угол дважды: когда направленный угол между ними равен 90° и когда он равен 270°.

За 12 часов это происходит \(11 \cdot 2 = 22\) раза, а за сутки — \(22 \cdot 2 = 44\) раза.

Ответ: 44 раза.