Задача 5. Сколько следует провести повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 51, если вероятность появления этого события в отдельном испытании p = 0,64?

Решение:

Наивероятнейшее число появлений события \( k \) в \( n \) независимых испытаниях находится по формуле:

\[ k = \lfloor (n+1)p \rfloor \]

В нашей задаче известно:

• Наивероятнейшее число появлений события \( k = 51 \).
• Вероятность появления события в одном испытании \( p = 0,64 \).

Нам нужно найти число испытаний \( n \).

Подставим известные значения в формулу:

\[ 51 = \lfloor (n+1) \cdot 0,64 \rfloor \]

Это означает, что:

\[ 51 \le (n+1) \cdot 0,64 < 52 \]

Разделим неравенство на 0,64:

\[ \frac{51}{0,64} \le n+1 < \frac{52}{0,64} \]

\[ 79,6875 \le n+1 < 81,25 \]

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

\[ 79,6875 - 1 \le n < 81,25 - 1 \]

\[ 78,6875 \le n < 80,25 \]

Так как \( n \) должно быть целым числом, возможные значения \( n \) — это 79 и 80.

Проверим оба значения:

• Если \( n = 79 \): \( k = \lfloor (79+1) \cdot 0,64 \rfloor = \lfloor 80 \cdot 0,64 \rfloor = \lfloor 51,2 \rfloor = 51 \).
• Если \( n = 80 \): \( k = \lfloor (80+1) \cdot 0,64 \rfloor = \lfloor 81 \cdot 0,64 \rfloor = \lfloor 51,84 \rfloor = 51 \).

Оба значения \( n = 79 \) и \( n = 80 \) дают наивероятнейшее число появлений события равным 51.

Ответ: 79; 80.