Задача 5. Снаряд петарды для салюта выпущен с начальной скоростью V₀ под углом α к горизонту. Через промежуток времени τ₀, когда снаряд находился на высоте H, он разорвался на множество одинаковых осколков, каждый из которых приобрёл скорость ν относительно снаряда. Осколки разлетелись во все стороны равномерно. Рассчитайте, через какой промежуток времени τ₁ после разрыва петарды на поверхность упадёт ровно половина всех осколков.

К моменту взрыва вертикальная составляющая скорости снаряда равна

\[u=V_0\sin\alpha-g\tau_0.\]

Пусть после взрыва прошло время t. Вертикальная составляющая дополнительной скорости осколка относительно снаряда обозначим через \(v_y\). Из-за равномерного разлёта во все стороны величины \(v_y\) равномерно распределены в интервале \([-\nu,\nu]\). Поэтому половина осколков имеет \(v_y<0\), а половина — \(v_y>0\).

Вертикальная координата осколка через время t:

\[y=H+(u+v_y)t-\frac{gt^2}{2}.\]

Ровно половина осколков окажется на поверхности в тот момент, когда граница между упавшими и ещё находящимися в полёте осколками соответствует \(v_y=0\). Следовательно,

\[H+ut-\frac{gt^2}{2}=0.\]

Выбираем положительный корень квадратного уравнения:

\[\frac{gt^2}{2}-ut-H=0,\]

\[t=\frac{u+\sqrt{u^2+2gH}}{g}.\]

Подставляя значение u, получаем

\[\tau_1=\frac{V_0\sin\alpha-g\tau_0+\sqrt{(V_0\sin\alpha-g\tau_0)^2+2gH}}{g}.\]

Ответ: \(\displaystyle \tau_1=\frac{V_0\sin\alpha-g\tau_0+\sqrt{(V_0\sin\alpha-g\tau_0)^2+2gH}}{g}\).