Задача 5. «Старинная задача». Для покупки порции мороженого Пете не хватает семи копеек, а Маше — одной копейки. Тогда они сложили все имевшиеся у них деньги. Но их тоже не хватило на покупку даже одной порции. Сколько стоила порция мороженого?

Решение:

Пусть \( x \) — количество денег у Пети, \( y \) — количество денег у Маши, а \( C \) — стоимость порции мороженого.

По условию задачи:

1. Пете не хватает 7 копеек до покупки мороженого: \( x + 7 = C \)
2. Маше не хватает 1 копейки до покупки мороженого: \( y + 1 = C \)
3. Если они сложат деньги, им всё равно не хватит на одну порцию. Это означает, что их общая сумма денег меньше стоимости мороженого. \( x + y < C \)

Из первых двух уравнений выразим \( x \) и \( y \):

• \( x = C - 7 \)
• \( y = C - 1 \)

Подставим эти выражения в неравенство:

\( (C - 7) + (C - 1) < C \)

\( 2C - 8 < C \)

\( 2C - C < 8 \)

\( C < 8 \)

Теперь рассмотрим условие, что денег Пете не хватает 7 копеек, а Маше — 1 копейку. Это значит, что их денег меньше, чем \( C \), но больше, чем \( C - 7 \) (у Пети) и \( C - 1 \) (у Маши).

Составим систему: \( x+y < C \).

Также, из условия, что Пете не хватает 7 копеек, значит его денег \( x = C - 7 \). А Маше не хватает 1 копейки, значит её денег \( y = C - 1 \).

Сложим их деньги: \( x + y = (C - 7) + (C - 1) = 2C - 8 \).

Их общая сумма денег \( 2C - 8 \) также не хватила на покупку мороженого, но чтобы не хватило только 1 копейки (чтобы хватило, если бы у Маши была еще одна копейка), то есть \( x+y+1 = C \).

Подставим \( x+y = 2C - 8 \) в \( x+y+1 = C \):

\( (2C - 8) + 1 = C \)

\( 2C - 7 = C \)

\( 2C - C = 7 \)

\( C = 7 \)

Проверим:

Если \( C = 7 \), то Пете не хватает 7 копеек, значит у него \( x = 7 - 7 = 0 \) копеек.

Маше не хватает 1 копейки, значит у нее \( y = 7 - 1 = 6 \) копеек.

Вместе у них \( x + y = 0 + 6 = 6 \) копеек.

Порция стоит 7 копеек. Их 6 копеек не хватило на покупку порции.

Это решение не подходит, так как есть противоречие: у Пети 0 копеек, но он хочет купить мороженое. В старинных задачах обычно подразумевается, что у каждого есть хоть какая-то сумма денег.

Переосмыслим условие: «Но их тоже не хватило на покупку даже одной порции». Это может означать, что \( x+y < C \).

Рассмотрим другое решение, более классическое для этой задачи:

Пусть \( C \) — стоимость порции мороженого, \( P \) — деньги Пети, \( M \) — деньги Маши.

\( P + 7 = C \) (Пете не хватает 7 копеек)

\( M + 1 = C \) (Маше не хватает 1 копейки)

\( P + M < C \) (Им вместе не хватает на порцию)

Из первых двух уравнений:

\( P = C - 7 \)

\( M = C - 1 \)

Подставим в неравенство:

\( (C - 7) + (C - 1) < C \)

\( 2C - 8 < C \)

\( C < 8 \)

Так как \( C \) — стоимость в копейках, то \( C \) — целое число. Возможные значения \( C \): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Но из \( P = C - 7 \) и \( M = C - 1 \) следует, что \( C \) должно быть больше 7 (чтобы у Пети было положительное количество денег, т.е. \( P > 0 \)).

Если \( C = 7 \), то \( P = 0 \) и \( M = 6 \). Сумма \( P + M = 6 \). \( 6 < 7 \) — условие выполняется, но \( P=0 \) может быть неверным для