Задача 6.2. Постройте график функции \(y=\frac{9x+1}{9x^2+x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим знаменатель на множители: \(9x^2+x=x(9x+1)\). Поэтому функция равна \(y=\frac1x\), но при \(x=0\) и \(x=-\frac19\) не определена. На графике \(y=\frac1x\) нужно исключить точку \(\left(-\frac19;-9\right)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(\frac1x=kx\), то есть \(kx^2=1\). При \(k\leq0\) решений нет; при \(k>0\) обычно есть две точки: \(x=\pm\frac1{\sqrt{k}}\).

Ровно одна из этих точек исчезает из графика, если она совпадает с выколотой точкой. Для \(x=-\frac19\) получаем \(y=-9\), и прямая через эту точку и начало координат имеет наклон \(k=\frac{-9}{-1/9}=81\). При этом вторая точка пересечения, \(x=\frac19\), остаётся на графике.

Ответ: \(k=81\).