Задача № 6. ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, AB = BC = 16 дм, AA₁ = 7 дм. Найти площадь сечения AKPC, где K — середина B₁A₁, а P — середина B₁C₁.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(16; 0; 0), C(16; 16; 0), A₁(0; 0; 7), B₁(16; 0; 7), C₁(16; 16; 7).

Так как K и P — середины указанных рёбер, получаем K(8; 0; 7), P(16; 8; 7).

Разобьём сечение диагональю AP на треугольники AKP и APC. Площадь каждого треугольника найдём по половине модуля векторного произведения двух его сторон.

Для первого треугольника: \(\overrightarrow{AK}=(8;0;7)\), \(\overrightarrow{AP}=(16;8;7)\). Их векторное произведение равно \((-56;56;64)\), поэтому \(S_{AKP}=\frac12\sqrt{(-56)^2+56^2+64^2}=36\sqrt2\) дм².

Для второго треугольника: \(\overrightarrow{AC}=(16;16;0)\). Векторное произведение \(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AC}=(-112;112;128)\), поэтому \(S_{APC}=\frac12\sqrt{(-112)^2+112^2+128^2}=72\sqrt2\) дм².

Ответ: площадь сечения AKPC равна \(108\sqrt2\) дм².