Задача 6. Через точку K бокового ребра четырехугольной пирамиды PABCD с объемом 128 проведена плоскость PKMNE, параллельная основанию пирамиды. AK:KP = 1:3. Найдите объем пирамиды PKMNE.

Дано:

• Пирамида PABCD
• Объем V_PABCD = 128
• Плоскость PKMNE || ABCD
• K ∈ PA, M ∈ PB, N ∈ PC, E ∈ PD
• AK : KP = 1 : 3

Найти:

• Объем V_PKMNE

Решение:

Плоскость PKMNE параллельна основанию ABCD. Это означает, что пирамида PKMNE подобна пирамиде PABCD.

Отношение длин соответствующих ребер у подобных фигур равно коэффициенту подобия (k). В данном случае, рассмотрим боковое ребро PA.

По условию, AK : KP = 1 : 3. Это значит, что отрезок PA разделен на 1 + 3 = 4 части.

Отношение ребра PK к ребру PA будет: KP / PA = 3 / (1 + 3) = 3 / 4.

Значит, коэффициент подобия k = 3/4.

Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия:

V_PKMNE / V_PABCD = k³

V_PKMNE / 128 = (3/4)³

V_PKMNE / 128 = 27 / 64

V_PKMNE = 128 * (27 / 64)

V_PKMNE = 2 * 27

V_PKMNE = 54

Ответ: 54