Задача 6. Куб с ребром 10 составлен из единичных кубиков. Его можно разбить на диагональные слои: 1-й слой — это угловой кубик, 2-й слой — три кубика, имеющие общую грань с первым кубиком, 3-й слой — следующая диагональная ступень из кубиков, имеющих общие грани с кубиками из 2-го слоя, и так далее. Сколько всего кубиков в 25-м слое? Варианты ответа: А. 10; Б. 15; В. 25; Г. 325.

Нумерация слоёв начинается с углового кубика. Поэтому в 25-м слое координаты кубиков относительно этого угла имеют сумму \(24\).

Так как ребро куба равно 10, каждая из трёх координат не превышает 9. Отразим координаты относительно противоположного угла: вместо суммы 24 получим сумму \(27-24=3\). Ограничения сверху уже не мешают, поскольку сумма всего 3.

Число троек неотрицательных целых чисел с суммой 3 равно числу способов разместить 2 разделителя среди 5 позиций:

\(\binom{3+3-1}{3-1}=\binom{5}{2}=10.\)

Ответ: А. 10 кубиков.