Задача 6. На доске написано выражение: *⁵ + *⁵ + *⁵ + *⁵ + *⁵. Петя и Вася по очереди заменяют по одной звёздочке на нечётные цифры, начинает Петя. Затем считается значение выражения. Вася хочет добиться того, чтобы оно являлось простым числом, Петя хочет ему помешать. Сможет ли Вася добиться своего независимо от действий Пети?

Любая нечётная цифра в пятой степени остаётся нечётной. Сумма пяти нечётных чисел нечётна, поэтому простота числа сама по себе не исключается.

Однако среди нечётных цифр есть цифра 5. Петя своим первым ходом может заменить одну звёздочку на 5. Тогда один член суммы равен $$5^5=3125,$$ а Вася и Петя далее заполняют остальные четыре места.

Петя может вторым своим ходом поставить 5 ещё в одном слагаемом. После этого сумма имеет вид $$2\cdot5^5+a^5+b^5+c^5,$$ где $$a,b,c$$ — нечётные цифры. Для любой нечётной цифры выполняется $$a^5\equiv a\pmod 5.$$ Поэтому, выбирая на своём следующем ходу цифру, сравнимую по модулю 5 с противоположностью суммы уже поставленных трёх цифр, Петя делает всю сумму кратной 5. Сумма больше 5, значит, она составная.

Следовательно, Вася не может гарантировать получение простого числа независимо от ходов Пети.

Ответ: нет, Вася не сможет добиться своего.