Задача № 6. В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда лгали. Через n дней оказалось, что каждый из лентяев сходил на работу ровно 1 раз. а) Найдите наибольшее возможное значение n. б) Найдите наименьшее возможное значение n.

Каждый день среди 25 произносивших эту фразу могли быть только труженики, если на работу пришло не 20 лентяев: тогда все лентяи лгали, и для произнесения ложной фразы нужны были 25 лентяев. Если же лентяев пришло ровно 20, фраза была правдивой, и её могли произносить труженики.

Значит, ежедневно приходило либо 20, либо 25 лентяев. За все дни каждый из 310 лентяев пришёл ровно один раз, поэтому сумма дневных количеств лентяев равна 310.

Пусть x — число дней с 20 лентяями, а y — число дней с 25 лентяями. Тогда

\(20x+25y=310\), откуда \(4x+5y=62\). Число дней \(n=x+y\).

а) Чтобы дней было как можно больше, нужно выбирать меньшее дневное количество, то есть 20. Из равенства \(4x+5y=62\) следует, что y должно делиться на 4. При неотрицательных x и y подходят y = 2, 6 или 10. Тогда число дней составляет соответственно 15, 13 или 11. Наибольшее значение — 15: это 13 дней по 20 лентяев и 2 дня по 25.

б) Чтобы дней было как можно меньше, нужно выбирать большее дневное количество, то есть 25. Поскольку \(310:25=12.4\), меньше 13 дней быть не может. 13 дней возможны: \(x=3\), \(y=10\), и \(3\cdot20+10\cdot25=310\).

Ответ: а) 15 дней; б) 13 дней.