Задача 7.2. Постройте график функции \(y=-2-\frac{x+4}{x^2+4x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком общих точек.

Область определения: \(x\ne 0\) и \(x\ne -4\), поскольку \(x^2+4x=x(x+4)\).

При допустимых значениях \(x\):

\[y=-2-\frac{x+4}{x(x+4)}=-2-\frac1x.\]

График — гипербола \(y=-2-\frac1x\), из которой исключена точка графика при \(x=-4\). В этой точке значение функции было бы \(y=-2-\frac1{-4}=-\frac74\), поэтому на графике есть выколотая точка \((-4; -\frac74)\). Кроме того, значение \(-2\) функция не принимает.

Следовательно, горизонтальная прямая \(y=m\) не пересекает график, если её уровень равен одному из двух отсутствующих значений:

Ответ: \(m=-2\) или \(m=-\frac74\).