Задача 7.3. На прямой отмечены точки A, B, C и D. Получилось шесть отрезков: AB, BC, CD, AC, BD, AD. Кирилл измерил длины пяти из этих отрезков и выписал получившиеся числа в порядке возрастания: 1, 4, 5, 10, 14. (а) Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка. (б) Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.

Обозначим длины соседних отрезков через AB = x, BC = y, CD = z. Тогда AC = x + y, BD = y + z, AD = x + y + z.

(а) Например, возьмём x = 9, y = 1, z = 4. Тогда длины отрезков равны 9, 1, 4, 10, 5, 14. Пять из них — 1, 4, 5, 10, 14, а шестая длина равна 9.

(б) Пусть шестая длина — это t. Наибольшая длина среди шести отрезков — AD. Она не меньше 14. Если AD = 14, то среди остальных отрезков должны встречаться 1, 4, 5 и 10. Длина 1 должна быть одним из промежутков x, y, z. Чтобы среди отрезков также была длина 10, она должна быть промежутком суммы двух соседних частей; тогда третий промежуток равен 4, а два слагаемых этой суммы — 1 и 9. Получаем набор длин 1, 4, 5, 9, 10, 14, значит, t = 9.

Если AD > 14, то AD — это неизвестная шестая длина t. Поскольку остальные пять длин — 1, 4, 5, 10, 14, два промежутка x + y и y + z и сами промежутки x, y, z должны составлять этот набор. Например, сумма 10 получается как 1 + 9, а соседний с ней промежуток равен 4; тогда промежутки равны 1, 4 и 10, а оставшаяся длина AD равна 15. Иной вариант невозможен: сумма 10 должна быть суммой двух соседних промежутков, а из набора 1, 4, 5, 10, 14 только 1 + 4 = 5 и 4 + 10 = 14 дают нужные значения; совместить их с тремя промежутками можно только при промежутках 1, 4 и 10.

Проверка для t = 15: если AB = 1, BC = 4, CD = 10, то AC = 5, BD = 14, AD = 15.

Ответ: (а) например, 9; (б) 9 или 15.