Задача 7.3. Петя взял все натуральные числа от 1 до 2025, возвёл их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске? Вариант 7.3.2. Петя взял все натуральные числа от 1 до 1015, возвёл их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске? Вариант 7.3.3. Петя взял все натуральные числа от 1 до 3035, возвёл их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске? Вариант 7.3.4. Петя взял все натуральные числа от 1 до 4045, возвёл их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске?

Последние цифры квадратов повторяются с периодом 10:

\(1^2,2^2,\ldots,10^2\) дают последние цифры \(1,4,9,6,5,6,9,4,1,0\). Их сумма равна \(45\).

Для каждого числа \(N=10q+r\) сумма равна \(45q\) плюс сумма первых \(r\) цифр этого цикла. Для \(r=5\) дополнительная сумма равна \(1+4+9+6+5=25\).

1. \(2025=202\cdot10+5\): \(202\cdot45+25=9090+25=9115\).
2. \(1015=101\cdot10+5\): \(101\cdot45+25=4545+25=4570\).
3. \(3035=303\cdot10+5\): \(303\cdot45+25=13635+25=13660\).
4. \(4045=404\cdot10+5\): \(404\cdot45+25=18180+25=18205\).

Ответ: для задачи 7.3 — 9115; для варианта 7.3.2 — 4570; для варианта 7.3.3 — 13660; для варианта 7.3.4 — 18205.