Задача 7.4. У Алексея, Бориса, Вити, Гены и Димы есть суммарно 300 монет. Они сделали следующие утверждения: Алексей: «Количество монет у меня хотя бы столько же, сколько и суммарно у остальных». Борис: «Количество монет у меня хотя бы половина от суммарного количества монет у остальных». Витя: «Количество монет у меня хотя бы треть от суммарного количества монет у остальных». Гена: «Количество монет у меня хотя бы четверть от суммарного количества монет у остальных». Дима: «Количество монет у меня хотя бы одна пятая от суммарного количества монет у остальных». Известно, что один из них соврал, а остальные сказали правду. (а) Кто из них соврал? (б) Какое наибольшее количество монет может быть у совравшего на самом деле?

Обозначим через \(x\) количество монет у человека, а через \(300-x\) — количество монет у остальных.

Преобразуем истинные утверждения в минимальное количество монет:

1. Алексей: \(x\ge 300-x\), значит, у него должно быть не менее \(150\) монет.
2. Борис: \(x\ge \frac12(300-x)\), значит, не менее \(100\) монет.
3. Витя: \(x\ge \frac13(300-x)\), значит, не менее \(75\) монет.
4. Гена: \(x\ge \frac14(300-x)\), значит, не менее \(60\) монет.
5. Дима: \(x\ge \frac15(300-x)\), значит, не менее \(50\) монет.

Проверим, кто мог соврать.

Если соврал Борис, то остальные должны иметь как минимум \(150+75+60+50=335\) монет, что больше 300.

Если соврал Витя, остальные должны иметь как минимум \(150+100+60+50=360\) монет.

Если соврал Гена, остальные должны иметь как минимум \(150+100+75+50=375\) монет.

Если соврал Дима, остальные должны иметь как минимум \(150+100+75+60=385\) монет.

Во всех этих случаях получается больше 300 монет, поэтому они соврать не могли.

Значит, соврал Алексей. Тогда остальные могут иметь минимально \(100+75+60+50=285\) монет, поэтому у Алексея может быть не более

\[300-285=15\]

монет. При этом утверждение Алексея действительно ложно, так как \(15<285\).

Ответ: а) соврал Алексей; б) наибольшее количество монет у него — 15.