Задача № 7. Грузовик взял на буксир легковой автомобиль «Волга» массой m = 2 т, двигаясь равноускоренно, за 50 с проехал путь 400 м. На сколько удлинился при этом трос, соединяющий автомобили, если его жесткость 2 * 10^6 Н/м? Трением пренебречь.

Решение:

Дано:

• Масса автомобиля \( m = 2 \) т = \( 2000 \) кг.
• Время движения \( t = 50 \) с.
• Путь \( S = 400 \) м.
• Жесткость троса \( k = 2 \cdot 10^6 \) Н/м.

Найти:

• Удлинение троса \( \Delta l \).

Ход решения:

1. Сначала найдём ускорение автомобиля. Так как движение равноускоренное, используем формулу пути: \( S = \frac{at^2}{2} \).
2. Выразим ускорение: \( a = \frac{2S}{t^2} \).
3. Подставим значения: \( a = \frac{2 \cdot 400 \text{ м}}{(50 \text{ с})^2} = \frac{800}{2500} = 0.32 \text{ м/с}^2 \).
4. Трос испытывает силу натяжения, которая вызывает его удлинение. Эта сила равна силе, вызывающей ускорение автомобиля (масса автомобиля \( m \)).
5. Используем закон Гука: \( F = k \cdot \Delta l \), где \( F \) — сила, \( k \) — жесткость, \( \Delta l \) — удлинение.
6. Сила натяжения троса \( F = m \cdot a \).
7. Подставим значения: \( F = 2000 \text{ кг} \cdot 0.32 \text{ м/с}^2 = 640 \text{ Н} \).
8. Теперь найдём удлинение: \( \Delta l = \frac{F}{k} \).
9. Подставим значения: \( \Delta l = \frac{640 \text{ Н}}{2 \cdot 10^6 \text{ Н/м}} = \frac{640}{2000000} = 0.00032 \text{ м} \).
10. Переведём в миллиметры: \( 0.00032 \text{ м} = 0.32 \text{ мм} \).

Ответ: трос удлинился на 0.00032 м (или 0.32 мм).