Задача 7. Куб с ребром 10 составлен из единичных кубиков. Его можно разбить на диагональные слои: 1-й слой — это угловой кубик, 2-й слой — три кубика, имеющие общие грани с первым кубиком, 3-й слой — следующий диагональный слой из шести новых кубиков, имеющих общие грани с кубиками из 2-го слоя, и так далее. Сколько всего кубиков в 25-м слое? Варианты: А) 10; Б) 15; В) 25; Г) 325.

В каждом слое сумма координат кубика (от выбранного угла) увеличивается на 1. Число кубиков в слое с номером n равно числу троек неотрицательных целых чисел, сумма которых равна n − 1.

По формуле числа таких троек получаем: \(\binom{n+1}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\).

Для 25-го слоя: \(\frac{25\cdot26}{2}=325\). Размер куба этому не препятствует: 25-й слой существует, поскольку максимальный номер диагонального слоя в кубе с ребром 10 равен 28.

Ответ: Г) 325 кубиков.