Задача 7. Непересекающиеся диагонали двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами α и β. Найдите угол φ между этими диагоналями.

Пусть высота параллелепипеда равна h. Рассмотрим две смежные боковые грани с общим вертикальным ребром. Горизонтальные проекции выбранных непересекающихся диагоналей параллельны двум смежным сторонам основания, поэтому перпендикулярны друг другу.

Из определения угла наклона прямой к плоскости вертикальная составляющая каждой диагонали равна её длине, умноженной на синус угла наклона. Поэтому длины диагоналей равны h / sin α и h / sin β соответственно. Их горизонтальные составляющие перпендикулярны, а вертикальные составляющие для непересекающихся диагоналей направлены противоположно. Следовательно, по формуле скалярного произведения для угла между прямыми:

cos φ = h² / ((h / sin α)(h / sin β)) = sin α · sin β.

Ответ: φ = arccos(sin α · sin β).