Задача 7. Сложная Иррациональное выражение Упростите выражение \(\sqrt{52 - 14\sqrt{3}}\) \(\cdot\) \(14 + 2\sqrt{3}\).

Решение:

Давай упростим это выражение шаг за шагом.

1. Рассмотрим подкоренное выражение:\[ 52 - 14\sqrt{3} \]

   Попробуем представить его в виде квадрата разности \(a - b\text{\)^2} = a^2 - 2ab + b^2). Нам нужно найти такие 'a' и 'b', чтобы \(a - b\text{\)^2} = 52 - 14\(\sqrt{3}\).

   Заметим, что \(14\sqrt{3}\text{\)} = 2 \(\cdot\) 7 \(\cdot\) \(\sqrt{3}\). Если \(a=7\text{\)} или \(b=7\text{\)}, то \(a^2 + b^2\text{\)} должно быть равно 52.

   Проверим: (7^2 + \(\sqrt{3}\)^2\(\text{)}\) = 49 + 3 = 52. Отлично!

   Значит, (52 - 14\(\sqrt{3}\) = 7^2 - 2 \(\cdot\) 7 \(\cdot\) \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{3}\)^2 = \(7 - \sqrt{3}\)^2).

2. Упростим корень:\[ \sqrt{52 - 14\sqrt{3}} = \sqrt{(7 - \sqrt{3})^2} = |7 - \sqrt{3}| \]

   Так как \(7 > \sqrt{3}\text{\)}, то \(7 - \sqrt{3}\text{\)} положительное число. Значит, (|7 - \(\sqrt{3}\)| = 7 - \(\sqrt{3}\)\(\u\)0029.

3. Умножим на вторую часть выражения:\[ (7 - \sqrt{3}) \cdot (14 + 2\sqrt{3}) \]

   Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:

   \[ = 7 \cdot 14 + 7 \cdot 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 14 - \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \]

   Выполним умножение:

   \[ = 98 + 14\sqrt{3} - 14\sqrt{3} - 2 \cdot 3 \]

   Сократим \(14\sqrt{3}\text{\)} и \(-14\sqrt{3}\text{\)}:

   \[ = 98 - 6 \]

   Вычислим:

   \[ = 92 \]

Ответ: 92