Задача 75. Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом 110. Найдите третий угол треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC углы равны \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\). Биссектрисы углов \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются под углом 110 градусов. Обозначим точку пересечения как O.

В треугольнике AOB углы равны:

• Угол \(\angle OAB = \frac{\alpha}{2}\)
• Угол \(\angle OBA = \frac{\beta}{2}\)
• Угол \(\angle AOB = 110^{\circ}\)

Сумма углов в треугольнике AOB равна 180 градусов:

\[ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + 110^{\circ} = 180^{\circ} \]\[ \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^{\circ} - 110^{\circ} \]\[ \frac{\alpha + \beta}{2} = 70^{\circ} \]\[ \alpha + \beta = 140^{\circ} \]

Нахождение третьего угла:

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусов:

\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \]

Подставим найденное значение \( \alpha + \beta \):

\[ 140^{\circ} + \gamma = 180^{\circ} \]

Вычислим \(\gamma\):

\[ \gamma = 180^{\circ} - 140^{\circ} \]

\(\gamma = 40^{\circ}\)

Ответ: Третий угол треугольника равен 40 градусам.