Задача 8.2. Постройте график функции $y=\frac{(x^2+4)(x+1)}{-1-x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задача 8.2. Постройте график функции $y=\frac{(x^2+4)(x+1)}{-1-x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая…$ Фото задания

Accepted Answer

При $x\ne-1$: $y=\frac{(x^2+4)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+4)$. Поэтому график — парабола $y=-x^2-4$ с выколотой точкой $(-1,-5)$.

Точки пересечения с прямой $y=kx$ удовлетворяют уравнению $-x^2-4=kx$, то есть $x^2+kx+4=0$, причём $x=-1$ не входит в область определения.

При $k=\pm4$ уравнение имеет один двойной корень: при $k=4$ это $x=-2$, а при $k=-4$ — $x=2$. Оба значения допустимы.

Также при $k=5$ уравнение раскладывается как $(x+1)(x+4)=0$. Корень $x=-1$ исключён, а корень $x=-4$ даёт одну общую точку.

Ответ: $k=-4,\ 4,\ 5$.

Задача 8.2. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2+4)(x+1)}{-1-x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.