Задача 8.3. Найдите значение выражения: \( \frac{1}{2^{11}} \cdot \frac{1}{2^7} \)

Решение:

Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

В данном случае основание равно 2, а показатели степени равны 11 и 7. Однако, в числителе у нас стоят единицы, что означает, что мы имеем дело с отрицательными степенями: \( \frac{1}{a^n} = a^{-n} \).

Таким образом, выражение можно переписать как:

\[ \frac{1}{2^{11}} \cdot \frac{1}{2^7} = 2^{-11} \cdot 2^{-7} \]\[ = 2^{-11 + (-7)} \]\[ = 2^{-11 - 7} \]\[ = 2^{-18} \]

Чтобы представить результат в виде дроби, используем обратное свойство:

\[ 2^{-18} = \frac{1}{2^{18}} \]

Вычислим значение \( 2^{18} \):

\[ 2^{10} = 1024 \]\[ 2^{18} = 2^{10} \cdot 2^8 = 1024 \cdot 256 = 262144 \]

Таким образом, значение выражения равно:

\[ \frac{1}{262144} \]

Ответ: \( \frac{1}{262144} \).