Задача 8.3. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

При \(x\ne2\): \(y=\frac{(x^2+1)(x-2)}{-(x-2)}=-(x^2+1)\). График — парабола \(y=-x^2-1\) с выколотой точкой \((2,-5)\).

Пересечения с \(y=kx\) определяются уравнением \(-x^2-1=kx\), или \(x^2+kx+1=0\), при этом \(x=2\) исключён.

Дискриминант равен \(k^2-4\). При \(k=2\) или \(k=-2\) получается один двойной корень: соответственно \(x=-1\) и \(x=1\); оба допустимы.

Кроме того, при \(k=-\frac52\) уравнение имеет корни \(2\) и \(\frac12\). Корень \(2\) исключён, поэтому остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: \(k=-2,\ 2,\ -\frac52\).